Рейтинг@Mail.ru

ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ ТЕМ ПО МАТЕМАТИКЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРА

Ахмедов Забул Габил оглы, Ахмедова Ульвия Гасанага кызы

Школа № 1 им. А. Панаха, Сальянский район, Республика Азербайджан

задать вопрос автору

В этой статье исследуется правильный выбор алгоритма и чувствительность на погрешность во время использования компьютерной технологии на уроках математики.

Известно, что, пользуясь компьютерной технологией, все погрешности вычисления, относящиеся к решению задач, суммируются. И иногда результат, полученный по математическому решению, резко отличается от результатов, полученных с помощью компьютера. Это связано с суммированием погрешностей начальных параметров, метода и вычисления. Поэтому выбор алгоритма решений и программирования решения данной задачи на основе этого алгоритма требует серьëзного исследования. Например, если заменить, решение систем алгебраических уравнений алгоритмам Крамера на алгоритм Гаусса, то это послужит уменьшению вычислений. Так как если систему уравнений с десятью переменными вычислить методом Крамера, то число шагов будет , но если ту же задачу выполнить методом Гаусса, то выполнится 430 шагов. Если возьмëм коэффициент системы уравнений с четырьмя неизвестными с точностью до 4 знака после запятой, сами найдем решение и решим эту систему с помощью компьютера, то получим большую погрешность. После исследований выясняется, что причиной такой разницы является округление коэффициента с точностью до 4 знака после запятой. Сохранение при округлении числа знаков после запятой, серьëзно влияет на результат. Посмотрим на другой пример. Один из примеров, часто встречаемых в школьной математике, является:

.

В этом примере выполняется действия умножения, возведения в степень и сложения. Если вычислим значение этого многочлена в данной точке ведя непосредственные вычисления, то выполняется  действий.

Один из алгоритмов для вычисления значения многочлена является алгоритм Горнера. Рассмотрим сущность этого алгоритма.

— многочлен нулевой степени.

То есть ,

— многочлен первой степени.

Если вместо напишем , то получается:

;

.

Если продолжит таким образом, то для вычисление значения многочлена n-ой степени получим рекуррентные отношение

.

При вычислении по этому алгоритму участвуют n число действия умножения и n число действия сложения. И так всего выполняется  действий. А по предыдущему алгоритму выполняется:

 число действий.

Если возьмём  выполнится 210 действий, а по алгоритму Горнера выполняется всего 40 действий.

Все эти приведённые примеры показывают, что для решения задач с помощью компьютера важен выбор правильного алгоритма. Определяя приближенные алгоритмы, в первую очередь мы должны учитывать их погрешность. Мы должны обратить внимание на то, что в основном алгоритмы очень чувствительны к погрешностям. Маленькое изменение одного из начальных параметров может серьёзно повлиять на общий результат. Например,

в примере  

получается  . Если свободный член 255 заменить 255,03, то решением системы получится , . Это очень большая погрешность. Значит, очевидно, большое влияние изменения (0,01 %) начальных параметров на результат. Если вместо 255 напишем 255,0003, то получим , , что относительно близко к точному ответу.

В квадратном уравнении:

;

.

А корнями уравнений:  

;

, .

В уравнении:

 .

А в уравнении:

корнем уравнения является , . В обоих уравнениях при изменение свободного члена на 0,01 корни на много отличается. Алгоритмы решение этих задач является причиной таких погрешностей.

В школьной математике часто встречаются с задачами такого типа, но исследования не проводятся. Учителя математики, также учебники и учебные пособия не объясняют эти задачи, тогда как эта проблема имеет огромное значение во время внедрения информационной технологии. Отсюда приходим к выводу, что для решения задачи с помощью компьютера нужно обращать внимание на правильный выбор алгоритма и чувствительность на погрешность.

Литература

  1. Мамедов А. М., Ахмедов З. Г. Приближённые вычисления — средства, показывающие необходимость ЭВМ. Методические рекомендации. — Баку, 1997. — 81 с.
  2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительный математики. — М.: Наука, 1966. — 663 с.