ИТО-Марий Эл-2008 / Информационные технологии в обучении : только публикация 

ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Корнилов В.С.

Московский городской педагогический университет

задать вопрос автору

Процессы информатизации современного общества, свидетелями которых мы сегодня являемся, характеризуются совершенствованием и распространением информационных технологий во многие сферы человеческой деятельности, в том числе в сферу образования. Фундаментальный вклад в развитие информатизации образования, создание и применение средств информатизации в педагогической деятельности внесли Т.А. Бороненко, С.Г. Григорьев, В.В. Гриншкун, С.А. Жданов, А.А. Кузнецов, С.И. Макаров, Е.В. Огородников, Е.С. Полат, И.В. Роберт, А.Н. Тихонов и другие авторы. Внедрение информационных технологий в науку и образование инициировало рост прикладных исследований во многих гуманитарных, социальных и естественнонаучных областях. В немалой степени успешные исследования прикладных задач с использованием ЭВМ стали возможны благодаря тому, что современные информационные технологии позволяют получать виртуальные трехмерные модели, включают различные компьютерные математические пакеты, реализуют современные вычислительные алгоритмы решения прикладных задач, осуществляют информационную поддержку поиска и выбора алгоритмов и программ численного решения задач, методов и средств контроля точности производимых вычислений и правильности работы применяемых программ. В результате осуществляются мобильные исследования прикладных задач.

В настоящее время в учебном процессе высших учебных заведений используются компьютерные математические пакеты, которые начали создаваться в начале 80-х годов прошлого столе­тия. Среди них: Maple, Mathematica, Matlab, MathCad и другие. Студентам предоставляются большие возможности творчески применять компьютерные математические пакеты при решении математических задач, что способствует развитию таких компонентов мышления, как гибкость, структурность и т.д. Студенты избавляются от рутинной работы, связанной с громоздкими математическими вычислениями и преобразованиями; приобретают уверенность в символьных вычислениях и практические навыки проведения математических рассуждений и анализа полученных результатов; получают возможность самостоятельно и быстро решать разнообразные математические задачи. Использование компьютерных математических пакетов в обучении дисциплинам прикладной математики дает преподавателю возможность использовать наглядно-демонстрационный метод обучения: на экране компьютера возможно быстро демонстрировать аналитические и приближенные решения математических задач, двухмерные и трехмерные графики их решения, таблицы, рисунки и т.д. Проведенный в диссертации психолого-педагогический анализ позволяет сделать вывод о том, что использование в обучении компьютерных математических пакетов способствует развитию у студентов визуального мышления и наглядности обучения, что подтверждает целесообразность разработки методик обучения дисциплинам, в том числе прикладной математики, с их использованием.

Включение в процесс обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, помимо лекционных и семинарских занятий, такой формы организации обучения, как лабораторные занятия с использованием компьютерных математических пакетов Maple, Mathematica, Matlab, MathCad и других, позволяет достичь высокого уровня усвоения знаний, овладения необходимым прикладным математическим аппаратом путем активизации учебно-познавательной деятельности студентов и делает целесообразным использование данной формы организации обучения. В обучении обратным задачам с ее высоким математическим уровнем, сложным понятийным аппаратом, математическими методами исследования обратных задач и трудоемкостью исследований реализация этой формы организации обучения с использованием компьютерных математических пакетов не только возможна, но и методически оправдана. Лабораторные занятия по обратным задачам интегрируют теоретико-методологические знания, практические умения и навыки студентов в едином процессе деятельности учебно-исследовательского характера. При правильной организации лабораторной работы студенты выступают в роли исследователей обратных задач для дифференциальных уравнений. Содержание лабораторной работы по обратным задачам включает систему умственных и практических действий по овладению методами исследования обратной задачи для дифференциальных уравнений. Для проявления самостоятельности студентам может быть рекомендовано самостоятельно рассмотреть обратную задачу при аналогичных данных и дополнительной информации и применить компьютерный математический пакет для ее исследования. Организация и проведение лабораторных работ по обратным задачам не исключают общения преподавателя со студентами. При этом лабораторная работа как организационная форма учебной деятельности при обучении обратным задачам предполагает усиление роли преподавателя по консультационному и контролирующему сопровождению учебно-познавательной деятельности студентов, а также увеличение самостоятельной работы студентов с учебной и научной литературой по обратным задачам для дифференциальных уравнений. Применение компьютерных математических пакетов на лабораторных занятиях по обратным задачам для дифференциальных уравнений способствует реализации ряда дидактических принципов обучения: творчества и инициативы студентов, коллективного характера в сочетании с развитием индивидуальных особенностей личности каждого студента, профессиональной направленности, научности, системности, наглядности, интерактивности, межпредметных связей, опережающего обучения с передачей студентам мирового научного и культурного наследия. У студентов формируется необходимый уровень знаний, умений и навыков анализировать, сравнивать, обобщать полученные результаты по обратным задачам, который позволит в дальнейшем применять их в своей будущей профессиональной деятельности, что характеризует высокий уровень усвоения знаний.

Обратные задачи для дифференциальных уравнений, как правило, нелинейны – одновременно определяются и неизвестные функции (коэффициенты, правые части дифференциального уравнения), и само решение дифференциального уравнения. Поэтому в большинстве случаев решение соответствующей прямой задачи удается представить лишь в виде интегрального или интегро-дифференциального уравнения. Хотя, иногда, встречаются постановки обратных задач, решения которых, несмотря на их нелинейность, могут быть получены в виде формул. Схема исследования обратных задач для дифференциальных уравнений включает два этапа. На первом этапе конструируется решение прямой задачи и исследуются его свойства в предположении, что искомые функции являются известными и принадлежат конкретным функциональным пространствам. На втором этапе исследуется сама обратная задача. Используя построенное уравнение прямой задачи, последовательно строится соответствующая система уравнений обратной задачи. Затем доказываются теоремы существования, единственности и условной устойчивости решения обратной задачи, выявляются условия согласования данных обратной задачи. Цель исследования обратной задачи для дифференциального уравнений – конструктивное построение ее решения. В процессе исследования обратной задачи преодолеваются математические трудности: построение решения прямой задачи, которое имеет сложный вид; анализ свойств построенного решения прямой задачи; дифференцирование и интегрирование громоздких математических выражений, включая интегральные уравнения, применение приближенных методов решения и т.д. На это тратится много времени, есть вероятность сделать ошибку в вычислениях, которая может привести к неверному результату и ошибочным выводам.

С аналогичными трудностями сталкиваются и студенты при решении обратных задач для дифференциальных уравнений. Использование компьютерных математических пакетов на лабораторных занятиях по обратным задачам позволяет избежать некоторых трудностей при решении модельных обратных задач, хотя специальных команд, с помощью которых можно было строить решения обратных задач, у них нет. Студенты имеют возможность, не обращаясь к преподавателю, в результате последовательного выполнения соответствующих команд, находить аналитические и приближенные решения прямых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, которые в дальнейшем будут использованы для выбора дополнительной информации о решении прямой задачи, построения системы интегральных уравнений обратной задачи; применять методы решения дифференциальных или интегральных уравнений; в процессе решения обратной задачи для наглядного анализа строить графики сложных функций и поверхностей, с помощью которых, например, оцениваются решения прямых и обратных задач, что существенно облегчает их анализ; находить решения различных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; освободиться тем самым от сложных рутинных математических преобразований; избавиться от страха допустить ошибку в процессе решения обратной задачи и т.д. Использование на лабораторных занятиях компьютерных математических пакетов в процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений вносит позитивные изменения в деятельность студентов.