Рейтинг@Mail.ru

ЛОГИКА ЛЬЮИСА КЭРРОЛЛА

Лобанов В.И.

ОАО НПК НИИДАР

обсудить на форуме задать вопрос автору

Прошло более 100 лет после выхода в свет математических трудов великого английского математика и писателя Льюиса Кэрролла. В предисловии к «Истории с узелками» [1] проф. Я.А. Смородинский отмечает многогранность таланта этого учёного. Анализируя книги и статьи о Л. Кэрролле, он замечает, что одни авторы склонны видеть в нём лишь поэта, автора детских сказок об Алисе, другие – посредственного математика, не разобравшегося с традиционной логикой. В конце концов, историки науки признали, что логические работы Кэрролла намного опережали своё время [1]. Но в это признание трудно поверить: в прекрасном учебнике «История логики»[2] под редакцией добротного педагога В.Ф. Беркова нет ни слова о великом логике. Молчит о нём и английская наука: нет пророка в своём отечестве. В наше время ни один логик не рискнёт признаться в незнании его работ. Однако мало прочесть работы Кэрролла, их нужно ещё и понять. А вот с этой задачей не справился ни один учёный. Таким образом, великий логик опередил не только своё время, но и наше. Саркастическое отношение Кэрролла к этим «так называемым логикам» можно распространить и на наших современников.

В предисловии Ю. Данилова [3] высказывается мысль об искусстве правильного (логичного) рассуждения, об умении получать правильные заключения даже из несколько необычных суждений. «Например, из странных посылок

Ни одно ископаемое животное не может быть несчастно в любви.

Устрица может быть несчастна в любви.

следует вполне здравое, и, что самое главное, правильное, заключение: «Устрица – не ископаемое животное», — утверждает Ю. Данилов [3]. Однако это далеко не так. Проведём синтез заданного силлогизма по алгоритму ТВАТ [4,5]. Вторая посылка модальна, следовательно, устрица может быть как несчастной в любви, так и счастливой. Поэтому появляются три ситуации, представленные скалярами Y1, Y2, Y3. Введём следующие обозначения:

F(x,y) = y’+i = Ixy’(7), т.е. «Некоторые ископаемые животные – не устрицы». Мы получили частно-утвердительное заключение в 7-ом базисе [4]. Здесь и далее апостроф обозначает отрицание. Это так называемая интегрированная, обобщённая оценка. В жизни не может быть ситуаций Y1 – Y3 одновременно: не может быть одна и та же устрица ископаемой и неископаемой. Поэтому действительное заключение выглядит так: «Вероятно, устрица – неископаемое животное». Судя по скалярным диаграммам эта вероятность составляет 2/3. Величина вероятности определяется объёмами множеств-терминов U,m,x,y.

У Кэрролла есть одна слабость: он любит формулировать посылки как-нибудь поизощрённее, считая, что такие задачи представляют повышенную сложность для «нервически припадочных логиков»[3,с.29]. Ничего подобного нет на самом деле: просто в результате подобных изысков зачастую чрезвычайно некорректно формулируется условие задачи. Постановка задачи должна быть абсолютно прозрачной, всегда нужно стремиться к предельной простоте посылок. Не нужно пугаться отрицательных форм суждений, но заменять утвердительную форму на отрицательную просто по прихоти – дурной тон в математике. Во-первых, в данном силлогизме во второй посылке нужно убрать модальность. Во-вторых, в этой же посылке выбрать один из вариантов: либо «Всякая устрица несчастна в любви», либо «Некоторые устрицы несчастны в любви». В первом случае заключение будет простым: «Устрица – не ископаемое животное». Во втором по алгоритму ТВАТ получим следующий результат.

F(x,y) = x’+i = Ix’y(5), т.е. «Некоторые неископаемые животные – устрицы». Заключение получено в 5-ом базисе. Как видно из данного примера, посылки могут быть предельно простыми и прозрачными, а синтез заключения оказывается сложным. Неинтегрированное заключение выглядит так: «Вероятнее всего устрица – неископаемое животное». Для М = 0,5U, x = 0,25U эта вероятность составит 0,75. Возможно, вычисление вероятности окажется более сложным процессом, учитывающим распределение всех ситуаций Y1 – Y4, но для школьников можно воспользоваться приблизительным методом оценки. Главное, чтобы студенты и учащиеся могли находить все значимые ситуации при синтезе силлогизма. Кстати, вовсе не обязательно давать интегрированные заключения, поэтому школьники могут обходиться без таблиц истинности и трёхзначной логики. Останется, как и просил Лейбниц, одна прозрачная геометрия с арифметикой.

Кэрролл прекрасно понимал, что фигуры и модусы Аристотеля не справляются ни с анализом, ни с синтезом силлогизмов. К тому же он, возможно, читал Ф. Бекона, утверждавшего, что логика Аристотеля вредна. Поэтому талантливый мыслитель искал инструмент для решения поставленных логических задач. И такой инструмент был им создан: это диаграммы Кэрролла. С помощью диаграмм [3] он сумел реализовать синтез огромного массива силлогизмов, не прибегая к бесполезным терминам субъекта и предиката, большей и меньшей посылки, к традиционным некорректным правилам, фигурам и модусам. Однако не все силлогизмы поддавались анализу и синтезу с помощью диаграмм Кэрролла. В связи с этим в его работе [3,с.27] появилась глава, посвящённая логическим ошибкам. На основе своих диаграмм Кэрролл приходит к выводу, что существуют посылки, которые не ведут ни к какому логическому заключению, тем самым как бы подтверждая мысль Аристотеля в отношении неправильных модусов. Для иллюстрации этого утверждения он приводит следующий силлогизм [3,с.27]:

Все солдаты (х) храбрые (m).

Некоторые англичане (у) храбрые (m).

-------------------------------------------------

Некоторые англичане – солдаты.

«Выглядит это весьма похоже на силлогизм, и менее опытный логик вполне мог бы принять такое рассуждение за силлогизм», — заявляет Кэрролл. Однако проведём синтез по алгоритму ТВАТ и докажем, что это силлогизм. Изобразим на диаграмме все значимые ситуации. Универсум – множество людей.

F(x,y) = x’+i = Ix’y(5), т.е. «Некоторые не-солдаты – англичане». Это интегрированное заключение отнюдь не противоречит здравому смыслу. Раздельный анализ изображённых на диаграмме ситуаций даст следующие заключения: «Некоторые солдаты – англичане» (8-й базис), «Все солдаты – англичане» и «Ни один солдат – не англичанин». Второе и третье заключения противоречат действительности, поскольку армии имеются во всех странах мира, в том числе и в Англии. Следовательно, остаётся лишь одно заключение «Некоторые солдаты – англичане», что совпадает с гипотетическим заключением Л.Кэрролла, поскольку частно-утвердительный функтор в 8-ом базисе симметричен. Как видим, интегрированное заключение отличается от неинтегрированного, но последнее было получено с использованием дополнительной информации об армиях государств. Тем не менее триада Кэрролла является силлогизмом без всяких ошибок.

Льюис Кэрролл видел недостатки своих диаграмм, поэтому он продолжал поиски формальных методов анализа и синтеза силлогизмов и соритов. В результате этих поисков был создан «метод индексов»[1, с.262], который является ничем иным как обычной математической логикой. Впервые в западной логике появляется аналитическое описание общеутвердительного и общеотрицательного функторов [1, с.263]:

Axy = (xy’)’ = x’+y;

Exy = (xy)’ = x’+y’.

Неважно, что эти соотношения были представлены «карточной» символикой, важно, что именно с них начинается истинно математическая силлогистика Европы. За 15 лет до Кэрролла (в 1881г.) точно такие же результаты были получены гениальным русским логиком Платоном Сергеевичем Порецким [6]. Это нисколько не умаляет заслуг Кэрролла, поскольку он был самоучкой и безусловно не знал о работах русского учёного, который тоже не оказался пророком в своём отечестве. Мировая математическая силлогистика, конечно же, начинается с П.С.Порецкого. Однако до сих пор ни в одном учебнике по логике вы не найдёте этих основополагающих формул.

Сделав такой выдающийся шаг в формализации логики, Кэрролл тут же совершает ряд ошибок. «Теперь я возьму три различные формы, которые могут принимать пары силлогизмов, и с помощью диаграмм раз и навсегда выведу из них заключения…», — заявляет великий логик [1, с.265]. Здесь он повторяет заблуждения Аристотеля, считавшего, что заключение силлогизма не зависит от объёма терминов [4].

В переводе на современную символику эти три фигуры Кэрролла описываются соотношениями:

  1. ExmAym ® Exy
  2. AmxIym ® Ixy
  3. AmxAmy ® Ixy.

Бесспорной здесь является лишь 1-я фигура. Для 2-й фигуры заключением является Ixy(2), для 3-й – Ixy(3), т.е. совершенно разные формы частно-утвердительного функтора.

Однако никто не заметил, что на стр.265 своих «Узелков» выдающийся логик Запада вслед за Порецким напрочь отметает все бесполезные термины вроде субъекта, предиката, большей и меньшей посылок и прочей наукообразной чепухи.

Что касается соритов, то здесь достижения Кэрролла более чем скромны. Он выбирает самые простые сориты для синтеза всего лишь одного-единственного заключения, тогда как П.С.Порецкий решает сложные сориты с выводом многих заключений [6].

 Литература.

  1. Кэрролл Л. История с узелками. — М.: Фолио,2001.
  2. «История логики». – Минск: Новое знание, 2001.
  3. Кэрролл Л. Логическая игра. – М.: Наука, 1991 .
  4. Лобанов В.И. Русская логика против классической (азбука математический логики). – М.: Компания Спутник+, 2002 – 126с.
  5. Лобанов В.И. Решебник по Русской логике. – М.: Компания Спутник+, 2002 – 133с.
  6. Порецкий П.С. О способах решения логических равенств и об одном обратном способе математической логики. — Казань:1881.