МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОБРАЗОВАНИЯ
Гусаков Виктор Петрович, Вьялицин Александр Александрович, Шебелистова Оксана Владимировна
Северо-Казахстанский государственный университет (СКГУ), г. Петропавловск
Предложена математическая модель интегральной оценки качества образовательной системы, учитывающая взаимное влияние показателей качества.
обсудить на форуме
написать автору
Казахстан приступил к реализации важнейшей социальной задачи – обеспечению современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства.
Решение этой задачи ведётся через создание как национальной системы оценки качества образования, так и внутривузовских систем управления качеством высшего образования. Трансформация традиционной системы управления вузом в систему управления, ориентированную на качество, предполагает проведение различных мероприятий, в том числе, построение комплексной системы внутривузовского мониторинга процессов оказания образовательных услуг, контроля и оценки результатов обучения. Одним из этапов этой работы является отбор показателей, определение их относительной важности и учёт взаимного влияния.
Для оценки качества системы (или функционирования системы в течение некоторого интервала времени) обычно применяют линейную функцию, зависящую от численных значений некоторых заранее заданных показателей. Пусть n — число показателей; xj — значение j-го показателя; aj — коэффициент, определяющий сравнительную важность j-го показателя. Тогда качество системы определяется линейной функцией
Недостатком такого простейшего способа оценки качества является невозможность учёта желательных пропорций между значениями отдельных показателей.
Целью данной работы является поиск такой функции, в которой были бы учтены взаимосвязи между показателями.
Пусть экспертным или каким-либо иным способом заданы числа bij, i<j. Смысл числа bij состоит в том, что если xi /xj=bij, то соотношение между показателями i, j считается наиболее желательным (оптимальным). При этом показатели i, j назовём сравнимыми. Показателю i поставим в соответствие вершину i орграфа. Вершины i, j соединены дугой, если определено число bij,соответствующее данной дуге (i, j). Полученный орграф не обязательно является полным, поскольку не для каждой пары показателей могут быть заданы соотношения. Но будем вначале считать, что этот граф связный, то есть существует путь из любой вершины i в любую другую вершину j, i < j.
Орграф назовём сбалансированным, если существует такой вектор x0=(x01,…,x0n) с положительными компонентами, что
x0i/x0jj=bij, " i, j, i< j (1).
Данный орграф нельзя считать сбалансированным. Действительно, пусть, к примеру, существуют числа bij, bik, bkj. Тогда из (1) следует, что bij= bik × bkj. Но последнее равенство может и не выполняться, так как числа bij могут определяться независимо.
Пусть Рij=(i, k, l, … q, j) – путь, связывающий вершину i с вершиной j; b(Рij) = bik × bkl ×...×bqj. Из (1) следует, что орграф будет сбалансированным, если и только если для каждой пары i, j вершин числа b(Рij) будут совпадать для любых Рij (для любых путей из i в j). Несбалансированность орграфа означает отсутствие вектора показателей, компоненты которого удовлетворяют исходным (оптимальным) соотношениям. Поэтому числа bij нельзя вводить непосредственно в функцию, определяющую качество (функцию качества).
Вместо чисел bij поставим в соответствие дугам другие числа, так чтобы полученный орграф оказался сбалансированным. Положим
где m1j — число различных путей из вершины 1 в вершину j; сумма берётся по всем различным путям из 1 в j. Теперь полагаем
gij=g 1j /g 1i, 2 £ i < j.
Несложно убедиться в том, что числа gij определяют полный сбалансированный орграф. Заметим, что если несбалансированность исходных оценок bij невелика, то число gij мало отличается от bij (если число bij задано). В частности, если орграф с числами bij оказывается сбалансированным, то bij =gij.
Вектор x0=(x01,…,x0n) назовём сбалансированным, если x0i /x0j=gij, " i, j, i < j. Такой вектор существует. Если х0 — сбалансированный вектор, то и lх0 — сбалансированный вектор, " l > 0.
Функцию качества g(x) будем искать в классе функций, удовлетворяющих следующим условиям.
- g(lx)=l g(x), " l > 0.
- g(x)= f(x), если х –сбалансированный вектор.
- Если f(x) = f(x0), где х0 –сбалансированный вектор, то g(x)£ g(x0).
Первое условие означает, что интегральный показатель качества возрастает линейно с пропорциональным ростом всех показателей. Смысл остальных условий состоит в том, что максимум показателя качества достигается на сбалансированных векторах при равных значениях линейного показателя f(x).
Итак, интегральный показатель качества предлагается оценивать функцией
Чем жёстче требования к пропорциональности показателей i, j , тем больше должен быть коэффициент xij. На практике в некоторых случаях требования к пропорциональности показателей i, j являются односторонними, то есть нежелательной является ситуация, когда xi < gij xj, а условие xi ³ gij xj приемлемо. Тогда слагаемое xij(xij — gij)2 следует заменить на слагаемое
Новая функция g(x), как нетрудно проверить, будет удовлетворять сформулированным выше требованиям.
До сих пор предполагалось, что числам bij, определяющим желательные пропорции между некоторыми показателями, соответствует связный орграф. В общем случае этот орграф может оказаться несвязным, состоящим из m компонент связности. Каждой компоненте связности соответствует группа взаимозависимых показателей. В этом случае для r-ой компоненты связности изложенным выше методом определяется функция gk(xk), где xk — вектор значений показателей, соответствующих k-ой компоненте связности. И тогда интегральный показатель качества будет определяться функцией
Учёт взаимного влияния комплекса мониторинговых показателей и системы индикаторов для каждого показателя качества требует междисциплинарных исследований колоссального объема. Архитектурной целостности этих исследований можно добиться, используя методологию системного анализа и математического моделирования.
Разработанная математическая модель интегральной оценки качества образования является частью проекта «Автоматизированная система мониторинга и управления качеством профессионального образования», выполняемого Северо-Казахстанским государственным университетом, по заказу Министерства образования и науки Республики Казахстан.