ПРАКТИКУМ – НОВАЯ ФОРМА ЭЛЕКТРОННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ИЗДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
Дубровский Владимир Натанович
Специализированный учебно-научный центр МГУ (СУНЦ МГУ), г. Москва
В образовательном комплексе «Математика, 5-11 кл.», издаваемом компанией «1С» по заказу НФПК, реализованы почти отсутствующие в обычных курсах математики и в электронных изданиях виды заданий, основанные на конструировании и эксперименте. На конкретных примерах обсуждаются дидактические и методические особенности этих заданий.
обсудить на форуме
написать автору
В заметке автора, опубликованной в материалах ИТО 2002, была представлена концепция разработки ЭИ по математике нового типа – «практикума». Работа над ним завершена и здесь мы остановимся на наиболее характерных особенностях заданий Образовательного комплекса «Математика (5-11 классы)» (ОКМ) – так называется это ЭИ, выпускаемое компанией «1С» в сотрудничестве с «Интерактивной линией».
Коротко о его структуре. ОКМ включает 5 «лабораторий»: по планиметрии, стереометрии, алгебре, алгоритмике и теории вероятностей и математической статистике, а также тренажер устного счета, «линию времени» и другие справочные материалы, объединенные на платформе «1С:Образование», обеспечивающей навигацию и поиск, создание личных подборок материалов и т.п. Первые три лаборатории созданы в «Живой геометрии» (ЖГ) 3-й версии – локализации среды «The Geometer’s Sketchpad» (в лаборатории алгебры используется также специально разработанный программный модуль «Анкета функции».) На них мы и сконцентрируемся.
В чем суть «практических заданий по математике», включенных в ОКМ? По замыслу, эти задания должны были предоставить учащимся материал для изучения и освоения математических идей, понятий, методов, навыков через деятельность по созданию и исследованию математических объектов. Другими словами – в ходе математического конструирования и эксперимента. Перед авторами стояла задача подбора такой тематики заданий, которая бы обеспечила реализацию этих видов деятельности и в то же время была по возможности близка к содержанию стандартных курсов математики. Приводимые ниже примеры из разных предметных областей иллюстрируют направления и результаты работы по решению этой задачи.
- Конструирование
- Простейший, в чем-то даже банальный пример заданий на конструирование – задачи на построение циркулем и линейкой в планиметрии. Действительно, им в ОКМ отводится большое место: и потому, что это один из немногих видов заданий «практического» типа в стандартном курсе, и в силу их принципиальной важности при обучении настоящей Геометрии (а не методу координат, как во многих западных странах), и просто потому, что ядром самой среды The Geometer’s Sketchpad является компьютерная реализация алгоритмов геометрических построений. Радикальное преимущество моделей ЖГ перед обычными чертежами в том, что исходные данные конструкции всегда можно изменить, и вслед за ними будет изменяться вся конфигурация, позволяя быстро и наглядно провести «исследование» задачи, часто игнорируемое в школе. Но при всей дидактической ценности задач на построение как таковых, их значение при изучении геометрии много больше. Одна из наиболее эффективных и содержательных методик решения геометрических задач состоит в том, чтобы пытаться построить описанную в условии фигуру с как можно более полным соблюдением всех условий задачи. При этом мы анализируем условие задачи, но непосредственной целью анализа ставим не ответ на ее вопрос, а построение чертежа. В ходе анализа данные разделяются на ключевые и второстепенные, выясняется, является ли конфигурация жесткой, влияет ли имеющаяся в ней свобода на ответ и, в конце концов, выявляются и формализуются связи между данными и искомыми элементами. Лучший способ воспитать навыки такого «конструктивного анализа» – решать задачи на построение.
- Второй классический пример – задачи на отыскание геометрических мест. В среде ЖГ имеются специальные команды для рисования ГМТ, и это ставит перед учащимися новые задачи. Сначала нужно параметризовать условие, т.е. ввести параметр, который будет определять конкретную точку ГМТ (так, при построении биссектрисы угла – множества точек, равноудаленных от его сторон, – таким параметром может быть расстояние от точки до сторон). Затем для фиксированного значения параметра строится точка на ГМ, и, наконец, параметр «анимируется», в результате чего построенная точка вычерчивает искомое множество. Покрытые пылью тысячелетий задачи приобретает новые аспекты, но при этом все обычно задаваемые в них вопросы сохраняют силу.
- Основное место в стереометрическом разделе занимают тоже конструктивные и тоже вполне традиционные задачи на построение сечений. Но в ОКМ они смоделированы так, что в любой момент можно изменить ракурс изображения и, тем самым, как бы «работать в пространстве», и в то же время – на обычном, таком же как в тетради, чертеже. Эти задания уже получили самые благоприятные отзывы педагогов.
- Другой тип конструктивных заданий можно так и назвать – «конструкторы». Здесь пользователь получает (или сам изготавливает) инструменты-макросы, облегчающие построения, а акцент переносится с вопроса «как строить?» на «что строить?». Таков, например, практикум «правильные мозаики», конечной целью которого является отыскание всех однородных замощений плоскости правильными многоугольниками. Мозаики строятся с помощью набора инструментов, моментально создающих составляющие ее «плитки».
- Конструирование в алгебре – это в первую очередь построение графиков. Важная методическая особенность построения графика по формуле в ЖГ в том, что он строится как ГМТ, т.е. фактически график строится непосредственно по определению. Совсем иной способ построения реализован в отдельном модуле «анкета функции»: здесь учащимся предлагается заполнить таблицу результатов исследования свойств функции (нули, экстремумы и т.д.), а по этой информации генерируется эскиз графика. Этот модуль позволяет поставить целый ряд нестандартных задач. Отметим также ряд заданий в ЖГ, в которых заданный график нужно получить из стандартного определенным набором преобразований.
В принципе, любая модель в среде ЖГ открывает возможность для экспериментирования: в ней всегда есть исходные параметры, варьируя которые, можно изучать поведение модели. Как использовать эту возможность в преподавании математики, где эксперимент практически отсутствует? Рассмотрим несколько примеров из ОКМ.
- На уроках геометрии (а еще чаще – на экзаменах в вузы) встречаются задачи с неоднозначным чертежом. В заданиях ОКМ этого типа учащимся дается готовая модель-чертеж, изменяя которую можно увидеть все теоретически допустимые конфигурации. Нужно отобрать из них те, которые возможны при конкретных числовых данных задачи и, конечно, получить ответ. Метод – эксперименты с чертежом.
- Естественным полем эксперимента и исследования являются экстремальные задачи. Отметим в этой связи интересную возможность ЖГ: можно непосредственно измерить тот или иной параметр фигуры и построить его график при ее изменении, не выписывая формул.
- Ряд заданий скомпонованы так, что выполняя их, дети самостоятельно выявляют закономерности в поведении предлагаемых для исследования моделей, совершая собственные маленькие открытия. В одних случаях требуется выполнить некоторые измерения и найти их инвариантную комбинацию. В других – составить таблицу значений некоторой величины (например, углового коэффициента касательной к графику данной функции f), нанести эти значения на плоскость координат и подобрать формулу функции, график которой прошел бы через все эти точки (в упомянутом примере получаем производную f).
- Особый класс экспериментальных заданий составляют задачи с «черном ящиком». На экране показаны какие-то объекты; одними из них можно управлять, положение других при этом изменяется по неизвестному (!) правилу. На «эмпирическом» уровне требуется (подбором) добиться заданного расположения объектов. На более высоком, «теоретическом» уровне нужно разгадать зависимость между объектами. Один из циклов таких заданий состоит из своего рода математических головоломок разных видов. В другом, преследующем более конкретную учебную цель, предлагаются пары фигур, одна из которых является образом другой при каком-то геометрическом преобразовании; его-то и надо восстановить. В таких заданиях с наибольшей четкостью реализованы в своей взаимосвязи важнейшие компоненты научного исследования – анализ и синтез. Впрочем, почти любая представленная в ОКМ модель дает повод к такому исследованию: понять, как она построена, и построить ее самому – эта задача почти всегда будет интересна и поучительна с математической точки зрения.
Последний пример подводит нас к важной методической особенности ОКМ: большинство заданий по самой своей сути предполагают дифференциацию по сложности и уровню подготовки учащихся. Так, подобрать движение заданного типа, совмещающее одну фигуру с другой, можно эмпирически, методом проб и ошибок; это будет интересно для младших школьников и поможет им освоить новые для них понятия. Но построить это движение точно, т.е., например, построить центр и угол поворота (если это поворот), – это уже содержательная задача для 9-10-классников. Составлять мозаики из правильных многоугольников подбором – привлекательное занятие, доступное 5-классникам; перечислить все 11 типов таких мозаик и доказать, что других нет – небольшое исследование для старших классов физико-математического профиля. Таким образом, учитель получает возможность выбрать темы, к которым можно возвращаться снова и снова на более глубоком уровне.
Открытость и гибкость ЖГ имеет и определенные издержки. Речь идет, прежде всего, о средствах контроля. Во многих разработанных для ОКМ моделях ЖГ удалось реализовать такие формы контроля, как тесты с одиночным или множественным выбором, тесты, в которых требуется расположить объекты в определенных зонах экрана, и т.п. После выполнения этих заданий на экран выводится сообщение о правильности или ошибочности ответа. Однако ЖГ не позволяет сохранять результаты проверки, поэтому используются эти тесты, в основном, для самоконтроля и стимулирования, а не для формального оценивания. В заданиях на конструирование автоматическая проверка вообще представляется проблематичной, и самоконтроль выступает на первый план. В основу проверки кладется тот же принцип, что и в задачах по информатике (ведь и там, и там результатом работы является алгоритм) – тестирование при разных начальных условиях, обязательно выявляющее ошибки в алгоритме конструкции, если они есть. В результате ребенок приучается к работе не из-под учительской палки – отметки в журнале, а во имя научной истины, приобретает ценнейшую привычку самопроверки и честного отношения к порученному делу.
Как комплекс «Математика 5-11» будет принят педагогическим сообществом, покажет будущее. Разработчики надеются, что хотя отмеченные выше особенности в чем-то осложнят его включение в традиционную систему преподавания математики, для увлеченного своей работой учителя они же послужат и стимулом, чтобы эти сложности преодолеть.