ИТО-2002 / Секция II / Подсекция 1 : устное выступление и публикация 

ВИРТУАЛЬНАЯ ЛАБОРАТОРИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ: КОНЦЕПЦИЯ И ПРИМЕРЫ

Дубровский Владимир Натанович

Специализированный учебно-научный центр МГУ (СУНЦ МГУ), г. Москва

Из всех видов электронных изданий, виртуальные лаборатории по математике в наибольшей степени обладают принципиально новыми учебными качествами и могут претендовать на лидерство в компьютеризации образования. Их суть можно отразить тремя ключевыми словами: эксперимент, моделирование, динамика. Приводятся известные и новые примеры реализации этих качеств.

Первые программы, которые можно отнести к компьютерным лабораториям по математике, появились уже более 10 лет назад. Среди них можно назвать различные программы динамической геометрии, из которых у нас наиболее известна "Живая геометрия" (русификация The Geometer's Sketchpad), и программу Stella для моделирования различных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, например, экологических или экономических. Но если виртуальные лаборатории, скажем, по физике, были естественным и предсказуемым перевоплощением обычных физических практикумов, то об аналогичных математических программах этого сказать нельзя, ибо у них не было "реальных" прототипов в традиционном математическом образовании. Поэтому можно ожидать, что их влияние на преподавание математики окажется более глубоким.

Понятно, что эти программы возникли не на пустом месте. Их "тремя источниками" можно назвать: профессиональные математические пакеты типа Maple или Mathematica, виртуальные лаборатории по естественным дисциплинам и идеи по реформированию математических курсов, идущие изнутри математического сообщества, что, очевидно, было решающим импульсом. Так, Sketchpad был выпущен в связке с учебником "Discovering geometry", в основе которого была идея о том, что ученик должен не получать готовые теоремы и потом их доказывать, а самостоятельно их находить. Stella имеет прямое отношение к курсу математического моделирования (который давно существует за границей, а сейчас становится актуальным и его внедрение в российскую школу).

Выделим такие основные черты виртуальных математических лабораторий (ВМЛ), их "три составные части":

Роль математического моделирования в обучении и, вообще, в процессе познания не нуждается в комментариях. Однако этот вид деятельности и, тем более, математический эксперимент практически отсутствовали в традиционной советской системе образования. Между тем, этот способ исследования всегда был присущ работе профессиональных математиков, а в наше время, благодаря компьютерам, приобрел особую важность.

Уместно упомянуть в связи с этим один не слишком хорошо известный факт из педагогического наследия А.Н.Колмогорова. Еще в 60-х годах он ввел в учебный план ФМШ при МГУ особый предмет, "Математический практикум". "Практикум" состоял из серии заданий, таких как построение номограмм, конструирование моделей многогранников, расчет полета ракеты и т.д., в которых учащиеся могли своими руками "пощупать", как работает математическая теория в конкретных, часто прикладных задачах, познакомиться с ее экспериментальным аспектом. Это была "проектная работа" в то время, когда о ней еще никто не слышал. Но, рассчитанные на работу "вручную", некоторые их этих заданий потеряли актуальность с появлением компьютеров. Виртуальные математические лаборатории позволяют возродить этот предмет на новом уровне, еще раз подтверждая прозорливость нашего крупнейшего математика.

Вернемся к 3-й существенной особенности ВМЛ — динамичности. Это свойство позволяет непосредственно наблюдать изменение исследуемого объекта и управлять этим изменением. Этим достигаются две цели: 1) высокий уровень интерактивности среды, в которой работает ученик, что придает дополнительную привлекательность работе, уподобляя ее компьютерной игре; 2) на фоне плавно меняющегося объекта особо ясно видны его неизменные свойства, т.е. выявляются присущие ему закономерности, а ведь в этом и состоит, как правило, цель исследования.

Приведем несколько примеров на материале 4-й версии "Живой геометрии" (ЖГ). Эти и многие другие примеры и задания войдут в разрабатываемый в настоящее время диск "Живая математика", предназначенный для широкого распространения в школах. Мы оставляем за рамками этого краткого обсуждения богатейшие возможности по иллюстрированию изучаемого материала, как в геометрии, так и в алгебре, предоставляемые ЖГ, поскольку с методической точки зрения их можно считать почти тривиальными.

  1. Вот простенький пример математического эксперимента, позволяющего проверить правильность решения. Когда в классе предлагается задача "построить касательную из данной точки к данной окружности", многие, если не большинство, учеников просто берут линейку, прикладывают ее к точке и "краешку" окружности и проводят линию. Приходится втолковывать им, что это незаконно, поскольку противоречит "правилам геометрической игры", придуманным греками. Другая, по своей сути, ситуация возникает, когда та же задача решается в ЖГ. Описанное построение, как и любое другое, можно выполнить и там. Но следующий шаг — поварьировать точку или окружность. Конечно, касание нарушается и ущербность такого "решения" становится очевидной, причем понимание этого приходит совершенно естественно. Задача приобретает глубину; теперь ясно, что мы ищем универсальное решение. А когда оно найдено, программа позволяет запомнить алгоритм построения в виде "инструмента", который позволит в дальнейшем строить касательные почти автоматически. Отметим, что создание "инструментов" является чрезвычайно полезным видом лабораторных заданий, поскольку требует полного понимания сути задачи и ее решения.
  2. Готовя с помощью ЖГ иллюстрации к одной статье в журнал "Квант", автор заметил следующий (неизвестный в широкой литературе) факт, связанный с конструкцией теоремы Понселе: центроиды треугольников и четырёхугольников, вписанных в одну данную окружность и описанных около другой, при варьировании многоугольников сами пробегают окружность. Этот факт в качестве гипотезы был опубликован в статье, и вскоре в редакцию пришло его доказательство в общем виде. Так ВМЛ позволяют делать маленькие открытия.
  3. Автором в рамках ЖГ сконструирована некая "стереометрическая среда", позволяющая строить изображения пространственных тел на плоскости (т.е. на экране), а затем произвольным образом вращать их вокруг трех заданных осей; на экране мы наблюдаем изображение вращающегося тела. Есть возможность установить "подсветку" построенной фигуры с целью усиления стереоэффекта. В этом бы не было ничего интересного (многочисленные программы 3D-графики позволяют это делать, причем, конечно, с лучшим качеством, чем специально для этого не предназначенная ЖГ), если бы не предоставляемая ЖГ возможность выполнять на полученном изображении любые новые построения. Например, можно построить сечение куба по трем точкам, причем по ходу построения куб можно поворачивать более удобной стороной к себе, а по завершении — рассмотреть результат с разных сторон. В частности, правильно построенное сечение при вращении вокруг оси, параллельной экрану, обязано в какой-то момент выродится в отрезок. Если этого не происходит, ошибка в построении будет очевидна. Другая сфера применения этой среды — освоение метода проекций для решения задач по стереометрии. Значение описанной деятельности для развития пространственного воображения трудно переоценить.
  4. В последней версии ЖГ появился встроенный графопостроитель, позволяющий проводить целый ряд содержательных лабораторных работ по алгебре. Сперва, однако, отметим, что и определенную ограниченность программы можно обратить на пользу. Так, в 3-й версии графики приходилось строить как геометрические места точек (x,y), где x пробегает область определения на оси абсцисс, а y определяется как значение функции в точке x. Конечно, для многократного использования с разными функциями это неудобно, но зато можно быть уверенным, что учащиеся, освоившие этот способ построения, усвоили и определение графика. Аналогично, в более мощной 4-й версии отсутствует заливка областей между графиками (т.е. графики неравенств и их систем). Однако и этого можно добиться подходящим построением, найти которое — очень поучительное упражнение. В качестве полезного (и объемного) примера лабораторных работ с графопостроителем приведем графическое исследование задач с параметрами — и алгебраических, и геометрических.
  5. Еще один интересный пример использования ЖГ в алгебре — моделирование текстовых задач. В большинстве из них речь идет о процессах, описываемых линейными функциями. Их графики — прямые. Таким образом, графической моделью такой задачи (в первом приближении) служит некоторая конфигурация прямых но координатой плоскости. Учащийся строит нужную конфигурацию, стараясь попасть в условия задачи. Там, где картинка перестает "сходится", заложено уравнение. Возникает тесная связь между текстовой, алгебраической и геометрической формами представления условия, способствующая и более глубокому пониманию сути дела, и оптимизации решения. Возможность динамического изменения параметров позволяет решать задачи численно, а иногда и угадывать формулы.

Таким образом, виртуальные математические лаборатории придают новое и крайне полезное измерение процессу обучения математике; очевидно, их ожидает большое будущее.