Построение математических моделей, описывающих биологические системы, является весьма существенным подспорьем для более глубокого понимания особенностей работы живых систем. Даже простые модели, описывающие химическую кинетику, или различные гидромеханические модели, использующие знания, не выходящие за пределы школьного курса математики, достаточно хорошо описывают реальное положение вещей и воспитывают у школьников навык обращения с прикладными моделями.

В качестве примера рассмотрена модель развития водянки мозга, служащая для прогнозирования накопления мозговой жидкости (ликвора) в различных отделах мозга.

При моделировании была принята двухкамерная модель; при этом в качестве первой камеры подразумевались все желудочки, в которых вырабатывается ликвор с постоянной скоростью потока жидкости — Q. В качестве второй камеры было взято внутричерепное пространство, незанятое мозгом.

Предполагалось, что объём головы — Vг составлен из трех компонентов:

Vг = Vж + Vм + Vв, (1)

где Vж — объём желудочка, Vм — объём мозга, который в нашей модели не меняется и Vв — объем жидкости незанятый мозгом.

Скорость изменения объёма желудочка может быть представлена дифференциальным уравнением

dVж / dT = Q — K1 * (Pж — Pв), (2)

где K1 — коэффициент характеризующий зависимость стока ликвора

из желудочка , а ( Pж — Pв) -разность давлений в желудочке и внешнем (для мозга объёме).

При этом объем желудочка (первой камеры модели) зависит от разности давлений по формуле

Vж = Мж * (Pж — Pв), (3)

где Мж — коэффициент упругости первой камеры (включающий и упругость мозговых тканей).

Таким образом для изменения объёма первой камеры получаем следующее уравнение:

dVж / dT = Q — K1 * Vж / Мж , (4)

Для изменения объёма второй камеры уравнение имеет следующий вид:

dVв / dT = K1 * Vж / Мж — К2*Рв, (5)

где первый элемент правой части характеризует поток ликвора, поступающий из желудочка, а второй — скорость оттока ликвора из второй камеры. При этом можно считать, что объем головы растет пропорционально давлению во второй камере, а именно:

Vг = Мв * Рв, (6)

где Мв — коэффициент упругости второй камеры — по существу упругость черепных тканей.

Подставляя уравнения (1) и (6) в уравнение (5), получаем

dVв / dT = (K1 / Мж — K2 / Мв)*Vж — К2*Vв / Мв — К2*Vм / Мв. (7)

Для численного решения уравнений (4) и (7) на компьютере использовалась программная оболочка LabVIEW, включающая удобные средства визуализации данных. Так, например, для построения графика достаточно соединить между собой массив данных и прямоугольник, изображающий осциллограф. Таким образом, можно наблюдать изменение во времени объемов разных камер мозга при различных параметрах, входящих в приведенные уравнения.

Следует отметить, что при описании модели использовался аппарат, не выходящий за пределы школьного курса математики, тем не менее исследователь мог изучать поведение модели достаточно приближенной к реальной ситуации.

обсудить на форуме написать автору

Сервер поддерживается фирмой НПП "БИТ про" и Московским центром Федерации Интернет Образования